Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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Schritt 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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Schritt 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 3$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $- 27 e^{- 2 x}$ und $45 e^{- 2 x}$ .

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 3$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 36 e^{- 4 x}$ und $45 e^{- 4 x}$ .

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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Schritt 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Multipliziere $e^{- 4 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.2.1.2.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

Schritt 2.3.2.2.1.5

Multipliziere $e^{- 4 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.2.1.5.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

Schritt 2.3.2.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

Schritt 2.3.2.2.1.5.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

Schritt 2.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere $27 e^{- 6 x}$ von $36 e^{- 6 x}$ .

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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Schritt 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

Schritt 2.4.2.2.2

Addiere $0$ und $9 e^{- 2 x}$ .

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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Schritt 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Schritt 2.5.2.2.2

Addiere $- 18 e^{- 4 x}$ und $9 e^{- 4 x}$ .

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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Schritt 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Multipliziere $e^{- 4 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.2.1.2.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.4

Multipliziere $- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Schritt 2.6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- 4 x}$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

Schritt 2.6.2.2.2

Addiere $18 e^{- 6 x}$ und $0$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Schritt 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 15$ .

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 9$ .

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere $0$ und $27 e^{- 2 x}$ .

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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Schritt 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $6$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 12$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $- 90 e^{- 4 x}$ und $36 e^{- 4 x}$ .

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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Schritt 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Multipliziere $e^{- 4 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.2.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.4

Multipliziere $- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 12$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Schritt 2.9.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- 4 x}$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

Schritt 2.9.2.2.2

Addiere $54 e^{- 6 x}$ und $0$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$